Complemento

A^c

Do latim *complementum* — "o que completa". O complemento é o que falta para preencher o universo.

Símbolo

$A^{\mathsf{c}}$ (também $A'$ ou $\bar{A}$ ). O $c$ é de complemento — o que completa $A$ até o universo.

Definição

O complemento de $A$ é tudo que, no universo $U$ , não está em $A$ :

A^{\mathsf{c}} = U \setminus A = \{\, x \in U \mid x \notin A \,\}

Depende do universo. $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ são os irracionais; $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ são os inteiros negativos. Sem universo fixado, "o que não está em $A$ " não é um conjunto.

De Morgan

O complemento troca união e interseção, exatamente como a negação troca $\vee$ e $\wedge$ :

(A \cap B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}} \cup B^{\mathsf{c}} \qquad (A \cup B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}} \cap B^{\mathsf{c}}

São as leis de De Morgan, as mesmas da lógica — complemento é a negação aplicada à pertinência, e a dualidade segue junto.

Negar um conjunto faz aos seus elementos o que negar uma proposição faz aos seus conectivos.