Conjuntos numéricos

Cada conjunto numérico surge como o fechamento de uma operação que o anterior não suportava. A hierarquia não é arbitrária — é a sequência mínima de extensões para que as operações fundamentais sempre tenham resposta.

A espinha

\mathbb{N} \;\subset\; \mathbb{Z} \;\subset\; \mathbb{Q} \;\subset\; \mathbb{R} \;\subset\; \mathbb{C}

Cada inclusão é estrita: cada conjunto contém o anterior mais elementos novos. A letra de cada um carrega sua origem — $\mathbb{Z}$ do alemão Zahlen ("números"), $\mathbb{Q}$ do italiano Quoziente ("quociente"), e $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ das iniciais de Naturais, Reais e Complexos. O blackboard-bold (a letra "vazada") é a convenção tipográfica que marca um conjunto numérico fundamental.

A tabela canônica

Conjunto	Símbolo	Motivação	Definição	Fechado sob
Naturais	$\mathbb{N}$	Contar	$\{0, 1, 2, 3, \dots\}$	$+,\ \times$
Inteiros	$\mathbb{Z}$	Subtração irrestrita	$\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$	$+,\ -,\ \times$
Racionais	$\mathbb{Q}$	Divisão (exceto por zero)	$\{\, p/q : p, q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \,\}$	$+,\ -,\ \times,\ \div$
Reais	$\mathbb{R}$	Completude (preencher "buracos")	$\mathbb{Q} \cup \text{irracionais}$	$+,\ -,\ \times,\ \div,\ \lim$
Complexos	$\mathbb{C}$	Raízes de qualquer polinômio	$\{\, a + bi : a, b \in \mathbb{R},\ i^2 = -1 \,\}$	$+,\ -,\ \times,\ \div,\ \sqrt{\ }$

Cada linha repara o que faltava na anterior. O motor é sempre o mesmo: uma operação fica sem resposta, e o conjunto se estende exatamente o suficiente para dar uma.

Cada passo: o que se ganha

$\mathbb{N}$ — naturais

Os naturais contam. Têm adição e multiplicação, e nada mais é necessário para contar. O que falta é a subtração irrestrita: $3 - 5$ não tem resposta em $\mathbb{N}$ .

A construção formal é de Peano (1889), cinco axiomas:

existe o $0$ ;
todo $n$ tem um sucessor $S(n)$ ;
sucessores distintos vêm de números distintos: $S(m) = S(n)$ só se $m = n$ ;
o $0$ não é sucessor de ninguém;
vale o princípio da indução.

Desses cinco, toda a aritmética dos naturais se deriva.

$\mathbb{Z}$ — inteiros

Queremos que $3 - 5$ tenha resposta. A solução é adicionar os inversos aditivos: para cada $n$ , um $-n$ . O resultado é $\mathbb{Z}$ , e o que se ganha é a subtração irrestrita — para quaisquer $a, b \in \mathbb{Z}$ , $a - b \in \mathbb{Z}$ .

O que ainda falta: a divisão irrestrita. $3 \div 2$ não tem resposta em $\mathbb{Z}$ .

$\mathbb{Q}$ — racionais

Queremos que $3 \div 2$ tenha resposta. A solução é adicionar os quocientes $p/q$ com $q \neq 0$ . O resultado é $\mathbb{Q}$ , e o que se ganha é a divisão irrestrita (exceto por zero).

Os racionais são densos: entre dois racionais quaisquer há sempre um terceiro. Não existe "o próximo racional".

O que ainda falta: $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ . Os racionais têm buracos — sequências convergentes podem convergir para pontos fora de $\mathbb{Q}$ .

$\mathbb{R}$ — reais

Queremos que todo limite convergente tenha um destino dentro do conjunto. A solução é adicionar os irracionais, preenchendo os buracos. O resultado é $\mathbb{R}$ .

A propriedade ganha é a completude: todo subconjunto não-vazio limitado superiormente tem um supremo em $\mathbb{R}$ . Os racionais falham nisso — $\{\, x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \,\}$ é limitado superiormente em $\mathbb{Q}$ , mas não tem supremo em $\mathbb{Q}$ (o candidato natural seria $\sqrt{2}$ , que não está lá). A construção formal — cortes de Dedekind ou sequências de Cauchy — é detalhe técnico; o que importa é o resultado.

O que ainda falta: $\sqrt{-1}$ . Em $\mathbb{R}$ , a equação $x^2 + 1 = 0$ não tem solução.

$\mathbb{C}$ — complexos

Queremos que todo polinômio não-constante tenha raiz. A solução é adicionar $i$ com $i^2 = -1$ e fechar sob as operações. O resultado é $\mathbb{C} = \{\, a + bi : a, b \in \mathbb{R} \,\}$ .

O que se ganha é o Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio não-constante de grau $n$ com coeficientes em $\mathbb{C}$ tem exatamente $n$ raízes em $\mathbb{C}$ (contando multiplicidade). Geometricamente, cada complexo é um ponto no plano; $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ é a distância à origem, e multiplicar é girar e escalar.

E depois? $\mathbb{C}$ é algebricamente fechado — nenhuma extensão algébrica acrescenta novidade. Os quaternions ( $\mathbb{H}$ ) e octonions ( $\mathbb{O}$ ) existem, mas nascem de outra motivação (rotação no espaço, não fechamento algébrico). A espinha termina em $\mathbb{C}$ porque a álgebra não tem mais o que pedir.

Variações de notação

A notação base aceita modificadores que restringem o conjunto:

Notação	Significado
$\mathbb{N}_0$	Naturais com zero: $\{0, 1, 2, \dots\}$
$\mathbb{N}^*$ ou $\mathbb{N}^+$	Naturais sem zero: $\{1, 2, 3, \dots\}$
$\mathbb{Z}^+$	Inteiros positivos: $\{1, 2, 3, \dots\}$
$\mathbb{Z}^-$	Inteiros negativos: $\{\dots, -3, -2, -1\}$
$\mathbb{Z}^*$	Inteiros não-nulos: $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$
$\mathbb{Q}^+,\ \mathbb{Q}^*$	Racionais positivos; racionais não-nulos
$\mathbb{R}^+,\ \mathbb{R}^*$	Reais positivos; reais não-nulos
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$	Irracionais
$\mathbb{C}^*$	Complexos não-nulos

A convenção sobre $0 \in \mathbb{N}$ não é universal. Em lógica, teoria dos conjuntos e computação, em geral $0 \in \mathbb{N}$ . Em análise e na teoria dos números mais antiga, com frequência $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ . Convém sempre checar a convenção do autor.

Conceitos estruturais associados

Cada extensão se justifica adicionando uma propriedade algébrica antes ausente. As propriedades-chave:

Conceito	Definição	Exemplo
Operação binária em $A$	Função $f: A \times A \to A$	adição em $\mathbb{Z}$
Fechamento	resultado sempre permanece no conjunto	$\mathbb{N}$ é fechado sob $+$ , mas não sob $-$
Elemento neutro	$e$ tal que $a \circ e = a$ para todo $a$	$0$ para $+$ , $1$ para $\times$
Elemento inverso	para cada $a$ , existe $b$ com $a \circ b = e$	$-a$ para $+$ , $1/a$ para $\times$
Comutatividade	$a \circ b = b \circ a$	$+$ e $\times$ em $\mathbb{R}$
Associatividade	$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$	$+$ e $\times$ em $\mathbb{R}$
Distributividade	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$	$\times$ sobre $+$ em $\mathbb{R}$
Densidade	entre dois elementos há sempre um terceiro	$\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$
Completude	todo subconjunto limitado tem supremo	$\mathbb{R}$ é completo; $\mathbb{Q}$ não

Cada degrau da hierarquia acrescenta exatamente o necessário para fechar uma operação ou ganhar uma propriedade que faltava.

Visão do programador: como subtipos

A inclusão entre conjuntos numéricos é, sob a correspondência de Curry-Howard, a relação de subtipo. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ é Natural sendo subtipo de Integer:

class Complex: ...
class Real(Complex): ...      # parte imaginária = 0
class Rational(Real): ...     # p/q
class Integer(Rational): ...  # q = 1
class Natural(Integer): ...   # ≥ 0

O número $5$ é uma instância de Natural, mas também isinstance(5, Complex) — não porque tenha "algo de complexo", e sim porque Natural é subtipo de Complex. Toda função que aceita Complex aceita Natural. Pertencer ( $5 \in \mathbb{N}$ ) é prova de habitação (o $5$ tem o tipo Natural); incluir ( $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ) é subtipar.

Onde o 5 mora

O número $5$ pertence simultaneamente a todos os conjuntos da hierarquia:

5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

O número não muda. O que muda é o ambiente em que se pode operar sobre ele. Em $\mathbb{N}$ , somar e multiplicar o $5$ . Em $\mathbb{Z}$ , também subtrair. Em $\mathbb{Q}$ , dividir. Em $\mathbb{C}$ , tirar raízes de qualquer expressão envolvendo o $5$ .

A pergunta $5$ é natural ou complexo? é mal formulada. O $5$ é natural e complexo. A pergunta certa é: em qual conjunto estou operando?

Onde estão os irracionais

$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ é o conjunto dos irracionais. Não tem letra blackboard-bold padrão como os outros — costuma-se escrever $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , ou $\mathbb{Q}^{\mathsf{c}}$ no contexto de $\mathbb{R}$ .

Os famosos: $\sqrt{2}$ (descoberto por Pitágoras, via geometria), $\pi$ (razão entre circunferência e diâmetro), $e$ (base do logaritmo natural), $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$ (razão áurea), todas as raízes de primos — e, por medida de Lebesgue, quase todos os reais.

Os irracionais são a maioria de $\mathbb{R}$ ; os racionais, uma exceção notavelmente ordenada, de medida zero.

Onde estão os imaginários puros

Um imaginário puro é um complexo da forma $bi$ com $b \neq 0$ e $a = 0$ . Não formam um conjunto "oficial" da hierarquia — são um subconjunto de $\mathbb{C}$ , mas não são reais e não têm letra própria.

No plano complexo, os reais ficam sobre o eixo horizontal e os imaginários puros sobre o eixo vertical (excluída a origem). O zero pertence aos dois eixos — é real e imaginário puro pela definição estrita, ou nenhum dos dois, conforme a convenção.

Conexões com os módulos do Axm

Esta hierarquia é a primeira espinha das fundações da aritmética, e cruza vários módulos:

Lógica — fixa $\in$ e $\subset$ , que aparecem aqui em cada inclusão;
Conjuntos — define união, interseção, complemento e produto cartesiano, as operações que constroem e comparam estes conjuntos;
Funções — operações como $+$ e $\times$ são funções (operações binárias $A \times A \to A$ );
Análise — vive em $\mathbb{R}$ e depende crucialmente da completude;
Álgebra linear — vetores em $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{C}^n$ ; autovalores caem em $\mathbb{C}$ mesmo para matrizes reais.

Toda a sequência é um único movimento, repetido: uma operação não fecha, e o conjunto cresce o mínimo para que feche.