Cardinalidade

Símbolo

$|A|$ (também $\#A$ ou $\operatorname{card}(A)$). As barras ecoam o valor absoluto — uma medida de tamanho que ignora quais elementos e conta apenas quantos.

Definição

A cardinalidade de $A$ é o número de elementos que ele tem. $|\{1, 2, 3\}| = 3$, $|\varnothing| = 0$, $|\{\varnothing\}| = 1$.

O salto para o infinito

Para conjuntos finitos, contar basta. Para infinitos, "quantos" precisa ser refeito: dois conjuntos têm a mesma cardinalidade quando existe uma bijeção entre eles — um emparelhamento um-a-um, sem sobra de nenhum lado. Esse é o único critério que sobrevive ao infinito, e ele força conclusões que a intuição finita rejeita: $\mathbb{N}$ e os números pares têm a mesma cardinalidade, embora os pares sejam um subconjunto próprio. O menor infinito tem cardinalidade $\aleph_0$ (alef-zero); há infinitos estritamente maiores.

Registro computacional

len(A) em Python — definido só para conjuntos finitos.

len({1, 2, 3})   # 3

Cardinalidade finita é uma contagem; cardinalidade infinita é uma bijeção. A passagem de uma para a outra é onde a intuição precisa ser reconstruída.