Conjunto potência

Símbolo

$\mathcal{P}(A)$ (também $2^A$). A notação $2^A$ antecipa o resultado central — a cardinalidade — e não é acidental.

Definição

O conjunto potência de $A$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$:

Inclui sempre os dois extremos: $\varnothing$, que é subconjunto de tudo, e o próprio $A$.

Por que 2ⁿ

Se $|A| = n$, então $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$. A razão é direta: para montar um subconjunto, cada elemento de $A$ enfrenta uma escolha binária — entra ou não entra. São $2$ opções por elemento, $n$ elementos independentes, logo $2^n$ subconjuntos. A notação $2^A$ é literalmente essa contagem.

Exemplo

$\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\, \varnothing,\; \{1\},\; \{2\},\; \{1, 2\} \,\}$ — quatro subconjuntos, $4 = 2^2$.

Cada elemento é uma escolha entre dois; o conjunto potência é o produto de todas elas.