Conjunto vazio

Símbolo

$\varnothing$ foi fixado pelo grupo Bourbaki, sugerido por André Weil — é a letra dinamarquesa/norueguesa Ø, não um zero cortado. A distinção importa de saída: o vazio não é o número zero. $\varnothing$ é um conjunto; $0$ é um número.

Definição

O conjunto vazio é o conjunto que não contém nenhum elemento. Pela extensionalidade — um conjunto é determinado por seus elementos —, há exatamente um conjunto vazio: dois conjuntos sem elementos têm os mesmos elementos (nenhum), logo são iguais.

Propriedade

$\varnothing \subseteq A$ para todo $A$. É verdade vacuosa: em $\forall x \, (x \in \varnothing \rightarrow x \in A)$ não há nenhum $x$ que acione a condição, então nada pode violá-la. O vazio está contido em tudo porque não há nada nele que pudesse faltar em outro lugar.

Aviso

$\varnothing \neq \{\varnothing\}$. O primeiro não tem elementos: $|\varnothing| = 0$. O segundo tem um elemento — o conjunto vazio — então $|\{\varnothing\}| = 1$. Confundir a caixa vazia com a caixa que contém uma caixa vazia é o tropeço clássico.

Registro computacional

set() em Python.

len(set())   # 0

O vazio é o caso-base de tudo em teoria dos conjuntos: o único conjunto cuja existência não depende de nenhum elemento.