Subconjunto

Símbolo

$\subseteq$ é um $C$ estilizado e deitado — de contained, "contido" — com a barra que ecoa o $\leq$: assim como $\leq$ admite igualdade, $\subseteq$ admite que os dois conjuntos sejam iguais. $A \subseteq B$ lê-se $A$ está contido em $B$.

Definição

$A \subseteq B$ significa que todo elemento de $A$ é também elemento de $B$. Escrito como sentença da lógica de predicados, isso é literalmente uma condicional universal:

Essa é a ponte entre os dois assuntos. Subconjunto é a condicional, percorrida sobre todos os elementos. Estar contido em $B$ é, para cada objeto, manter a promessa: se está em $A$, então está em $B$.

Intuição

$B$ tem tudo o que $A$ tem, e possivelmente mais. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo — $A \subseteq A$ —, porque cada elemento de $A$ está, trivialmente, em $A$. Quando a contenção é estrita ($A \subseteq B$ e $A \neq B$), escrevemos $A \subsetneq B$.

O conjunto vazio está contido em tudo

$\varnothing \subseteq A$ vale para qualquer $A$. A condicional universal explica por quê: em $\forall x \, (x \in \varnothing \rightarrow x \in A)$ não há nenhum $x$ para o qual o antecedente $x \in \varnothing$ seja verdadeiro. Nada é acionado, nada pode falhar — é verdade vacuosa, a mesma que torna a condicional verdadeira quando o antecedente é falso.

Registro computacional

A.issubset(B) em Python. Em TypeScript, é exatamente subtipagem: A extends B vale quando todo valor de A é valor de B — Curry-Howard puro, $\subseteq$ e extends sendo a mesma relação em registros diferentes.

{1, 2}.issubset({1, 2, 3})   # True

Subconjunto não é uma relação nova a memorizar — é a condicional que já conhecemos, dita sobre cada elemento.